解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
；
；
；
；
；
；
.
所以 的分布列为
16 17 18 ** ** 21 22

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ，故 的最小值为**.
（Ⅲ）记 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当 时，
当 时，
.
可知当 时所需费用的期望值小于 时所需费用的期望值，故应选 .
**.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为 ， ，故 ，
所以 ，故 .
又圆 的标准方程为 ，从而 ，所以 .
由题设得 ， ， ，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为：
（ ）.
（Ⅱ）当 与 轴不垂直时，设 的方程为 ， ， .
由 得 .
则 ， .
所以 .
过点 且与 垂直的直线 ： ， 到 的距离为 ，所以
.故四边形 的面积
可得当 与 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为 .
当 与 轴垂直时，其方程为 ， ， ，四边形 的面积为12.
综上，四边形 面积的取值范围为 .
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） ．
（i）设 ，则 ， 只有一个零点．
（ii）设 ，则当 时， ；当 时， ．所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
又 ， ，取 满足 且 ，则
，
故 存在两个零点．
（iii）设 ，由 得 或 ．
若 ，则 ，故当 时， ，因此 在 上单调递增．又当 时， ，所以 不存在两个零点．
若 ，则 ，故当 时， ；当 时， ．因此 在 单调递减，在 单调递增．又当 时， ，所以 不存在两个零点．
综上， 的取值范围为 ．
（Ⅱ）不妨设 ，由（Ⅰ）知 ， ， 在 上单调递减，所以 等价于 ，即 ．
由于 ，而 ，所以
．
设 ，则 ．
所以当 时， ，而 ，故当 时， ．
从而 ，故 ．
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）设 是 的中点，连结 ，
因为 ，所以 ， ．
在 中， ，即 到直线 的距离等于圆 的半径，所以直线 与⊙ 相切．

（Ⅱ）因为 ，所以 不是 四点所在圆的圆心，设 是 四点所在圆的圆心，作直线 ．
由已知得 在线段 的垂直平分线上，又 在线段 的垂直平分线上，所以 ．
同理可证， ．所以 ．

（23）（本小题满分10分）
解：⑴ （ 均为参数）
∴ ①
∴ 为以 为圆心， 为半径的圆．方程为
∵
∴ 即为 的极坐标方程
⑵
两边同乘 得

即 ②
：化为普通方程为
由题意： 和 的公共方程所在直线即为
①—②得： ，即为
∴
∴
（24）（本小题满分10分）
解：⑴ 如图所示：

⑵

当 ， ，解得 或

当 ， ，解得 或
或
当 ， ，解得 或
或
综上， 或 或
，解集为

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