函数的奇偶性学案范文(4)

时间:2016-07-05 来源:教育网

当a＞时，函数f（x）的最小值是a+ 。
点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为x∈R，f（0）=|a|+1≠0，由此排除f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f（x）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。
例12．设m是实数，记M={m|m>1}，f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+ )。
(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M；
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值；
(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。
　(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+ ］,
当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+ >0恒成立，
故f(x)的定义域为R。
反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+ >0。
令Δ＜0，即16m2－4(4m2+m+ )＜0，解得m>1，故m∈M。
(2)解析：设u=x2－4mx+4m2+m+ ，
∵y=log3u是增函数，
∴当u最小时，f(x)最小。
而u=(x－2m)2+m+ ，
显然，当x=m时，u取最小值为m+ ，
此时f(2m)=log3(m+ )为最小值。
(3)证明：当m∈M时，m+ =(m－1)+ +1≥3，
当且仅当m=2时等号成立。
∴log3(m+ )≥log33=1。
点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理。
题型七：周期问题
例13．若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（）
A． B． C． D．
解：因为y=f(2x)关于对称，所以f(a+2x)=f(a－2x)。
所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。
同理，f(b+2x) =f(b－2x)，
所以f(2b－2x)=f(2x)，
所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。
所以f(2x)的一个周期为2b－2a，
故知f(x)的一个周期为4(b－a)。选项为D。
点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称（a≠b），则这个函数是周期函数，其周期为2（b－a）。
例14．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。
①证明：；
②求的解析式；
③求在上的解析式。
解：∵ 是以为周期的周期函数，
∴ ，
又∵ 是奇函数，
∴ ，
∴ 。
②当时，由题意可设，
由得，
∴ ，
∴ 。
③∵ 是奇函数，
∴ ，
又知在上是一次函数，
∴可设，而，
∴ ，∴当时，，
从而当时，，故时，。
∴当时，有，
∴ 。
当时，，
∴
∴ 。
点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。
五．思维总结
1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x)= f(x)f(x) f(x)=0；
2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；
3．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；
4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。
5．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。
6．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。

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