函数模型的应用实例学案：
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学习过程
一、复习提问
我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？
二、新课
例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为**04km，试建立汽车行
驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出檅应的图象。
解：(1)阴影部分面积为：
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1＝36
阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为
360km。
（2）根据图有：
画出它的函数图象P121。在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因
此，我们应当注意提高读图的能力。本例题是分段函数是刻画现实问题的重要模型。
例4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可
以为有效控制人口增长依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状
态下的人口增长模型：y＝ ，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，
r表示人口的年平均增长率。
表3－8是**50――**59年我国的人口数据资料
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001）
用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型
与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表3－8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
分析：分别求出**50到**59年的每一年的增长率，再算出平均增长率，得到从
口增长模型y=55**6e0.0221t，作出原数据的散点图，作出模型的函数图象，可以看出
这个模型与数据是否吻合，用Excel电子表格作出图象展示给学生看。第二问中，13
亿是130000万人，将y＝130000代入所求出的函数模型，即可用计算器算出大约要在
39年后达到13亿人口。
例5、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为**0元，每桶水的进
价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/ 元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 3** 280 240
请根据以上根据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解：由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的
基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为：
480－40（x－1）＝5**－40x（桶）
由于x＞0，所且5**－40x＞0，即0＜x＜13
y＝（5**－40x）x－**0＝－40x2＋5**x－**0， 0＜x＜13
由二次函数的性质，易知，当x＝6.5时，y有最大值。
所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。
例6、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 1** 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 **.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未
成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么
这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在我校男生的体重是否正常？
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，根据点的分布特征，可
考虑用y＝a•bx作为刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm关系的函数模型。
不妨取其中的两组数据（70，7.90），（160,47.25）代入y＝a•bx得：
，用计算器解得：
这样，我们就得到一函数模型：
将已知数据代入上述函数解析式，或作出函数的图象，可以发现，这个函数模型
与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高
的关系。
（2）将x＝175代入 ，得：
≈63.98
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以这个男生偏胖。
练习：P126
作业：P127 7、8、9
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