1.4 因式分解

【教学目标】
1.理解因式分解的概念，了解因式分解与整式乘法之间的关系.
2.掌握因式分解的一般思考顺序，会运用提公因式法和公式法进行因式分解，会利用因式分解解决一些简单的实际问题.
【重点难点】
重点：运用提公因式法和公式法进行因式分解.
难点：利用因式分解解决一些简单的实际问题.
【考点例解】
例1 （1）在一次数学课堂练习中，小聪做了以下4道因式分解题，你认为小聪做得不够完整的一道题是（ ）
A. B.
C. D. .
（2）因式分解 的结果是（ ）
A. B.
C. D. .
分析：本题主要是考查因式分解的概念和因式分解一般思考顺序，强调因式分解一定要分解到结果中的每个因式都不能再分解为止.
解答：（1）A； （2）B.
例2 利用因式分解说明： 能被1**整除.
分析：要说明 能被1**整除，关键是通过因式分解得到 含有因数1**，可将 化为同底数形式，然后利用提公因式法分解因数.
解答：∵ ，
∴ 能被1**整除.
例3 在日常生活中经常需要密码，如到银行取款、上网等. 有种用“因式分解”法产生的密码方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是 ，若取 ， ，则各因式的值分别是： ， ， ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 同理，对于多项式 ，若取 ， ，则产生的密码是： （写出一个即可）.
分析：本题是因式分解的知识在实际生活中的简单应用. 解答时只需要先对多项式进行因式分解，再求各因式的值就可以了.
解答： ，当 ， 时，各因式的值分别是： ， ， ，所以密码可以为101030（也可以为103010或301010）.
【考题选粹】
1.（**06•南通）已知 ， ， ，其中 .
（1）求证： ，并指出 与 的大小关系；
（2）指出 与 的大小关系，并说明理由.
2.（**07•临安）已知 、 、 是 的三边，且满足 ，判断 的形状. 阅读下面的解题过程：
解：由 得 ， ①
即 ， ②
∴ ， ③
∴ 是直角三角形. ④
试问：以上解题过程是否正确？ . 若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；错误原因是 ；本题的正确结论应该是 .
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.

1.5 分式

【教学目标】
1.了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件.
2.掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分.
3.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值.
【重点难点】
重点：分式的基本性质和分式的化简.
难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题.
【考点例解】
例1 （1）在函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且 .
（2）若分式 的值为零，则 的值为 .
（3）下列分式的变形中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
分析：本题主要考查分式的概念与分式的基本性质. 在分式中，要使分式有意义，分式的分母要不为零；要使分式值为0，则要求分子的值为0且分式有意义.
解答：（1）B； （2） ； （3）C.
例2 先化简： ，再选择一个恰当的 的值代入求值.
分析：本题主要考查分式的化简和分式有意义的条件. 在分式化简中，经常可以把分式的除法改为乘法，再利用“分解约分”法进行化简. 在本题中的 不能取0和±1.
解答：原式 ，当 时，原式＝3.
例3 （1）已知一个正分数 ，如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大减小？请证明你的结论；（2）若正分数 中分子和分母同时增加2，3，…， （整数 ＞0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定，民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好. 问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由.
分析：本题考查了分式的大小比较，并要求利用有关知识解决实际问题. 解题的关键是理解题意，得到正确的结论.
解答：（1）正分数 中，若分子、分母同时增加1，分数的值增大，证明如下：
∵ ， ∴ ，
∴ ， 即 .
（2）正分数 中分子和分母同时增加2，3，…， （整数 ＞0）时，分式的值也增大. （3）住宅的采光条件变好，理由略.
【考题选粹】
1.（**07•东营）小明在考试时看到一道这样的题目：“先化简 ，再求值.”小明代入某个数后求得值为3. 你能确定小明代入的是哪一个数吗?你认为他代入的这个数合适吗?为什么?
2.（**07•嘉兴）解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题. 例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”等等.(责任编辑：haoxuee)